这里主要介绍一下概率分布的转化，也就是对随机变量x有相应的概率密度函数，那么对随机变量y=t(x)，y的概率密度函数和分布函数是什么呢。推导过程见下：
$$ F_Y(y)=p(Y < y)=p(t(x) < y)$$
$$ p(t(x) < y)=p(x < t^{-1}(y))$$
这里的变换就像x+1 < y等价于x < y-1
$$ F_Y(y)=F_X(t^{-1}(y))$$
因为y本身是关于x的函数，所以概率密度函数（对分布函数求导）是复合函数求导的结果：
$$ f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_X(t^{-1}(y))$$
$$ f_Y(y)=(t^{-1}(y))'f_X(t^{-1}(y))$$
上述情况主要针对单调递增的情况，如果单调递减要加一个负号（主要是第三步变换的时候，结果变成1-F（），导致后来求导的时候多了一个负号）。总的来说，不论单调递增还是递减，求概率密度函数的对t（x）求导那一项结果都应该是它的绝对值。
上面讨论的主要是对某一个随机变量x作变换，分析变换后的变量的分布函数和概率密度函数，进一步的，我们可以分析这种变换应该怎么做才有意义，事实上，比较常用的一种变换，就是针对任意的随机变量，利用它的分布函数形式做变换，使得愿随机变量转换为服从均匀分布的新的随机变量。
用正式的语言来定义：随机变量x具有单调递增的分布函数F(x)，令Y=F(x),则Y服从[0，1]上的均匀分布。
更振奋人心的是，利用这个定理作为桥梁，我们可以进一步推导一个转换，使得任意分布转化为另一种任意分布。首先看回定理，我们利用Y=F(x)，可把x转化为服从均匀分布的随机变量Y，同理，假如现在有一个均匀分布的随机变量y,利用：
一样可以把它转化为其他分布，主要是根据目标分布的分布函数决定转换公式。