切比雪夫不等式其实是马尔可夫不等式的特殊情况，首先，马尔可夫不等式为：
$$P(x\geq a)\leq \frac{E(x)}{a}$$
马尔可夫不等式主要给出了随机变量大于某个正数的概率的上界，只要我们做一个变换：
就可以得到切比雪夫不等式：
$$P(|X-E(X)|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k ^2}$$
接下来，我们进一步介绍切比雪夫不等式的应用，在此之前，先了解一下几乎处处收敛（almost sure convergence）和依概率收敛（convergence in probability），几乎处处收敛的表达式为：
$$P\{\lim_{n\to \infty}X_n (\omega)=X (\omega)\} = 1$$
依概率收敛的表达式是：
$$\lim_{n\to \infty} P\{|X_n -X| < \varepsilon \} = 1$$
简单来说，依概率收敛的意思是当n趋于无穷，xn与x之间不相等的部分概率趋于0，而almost sure的意思是，当n趋于无穷，xn不收敛到x的概率为0，as收敛可以推导出依概率收敛。
再举些例子，依概率收敛，即比如你在射箭，一开始你可能得分很低，射不中红心，可是射多了，技术提高了，射中红心的概率就会逐渐变大，射不中的概率将不断减少，但是，它和几乎处处收敛有一个不同的地方，那就是你依然有可能有一两次失手射偏了，也就是误差的存在，这种误差不能保证不存在，所以不能保证你举例红心的位置从哪一个时刻开始保持恒定。和几乎处处收敛的表达式比较，依概率收敛中的epsilon就反映了这种可能存在的误差。而针对几乎处处收敛，考虑一种短寿命动物，记录它每天消耗的食物数量，虽然这个数量不可测，但是我们知道，随着天数增加，总有一天它会死去，消耗量恒定变为0，所以我们可以看到，几乎处处收敛中的表达式直接认为xn最后等于x的概率是可以趋向1的，当n趋于无穷，就可以不考虑误差了。
总的来说，几乎处处收敛最强，依概率收敛次之
除此之外，还有分布收敛，主要指n趋于无穷时，xn和x的累计函数差不多，主要考虑的是分布函数。也有一种均方收敛，可理解成n趋于无穷时，xn与x的距离无限接近
接下来就是重头戏，利用马尔可夫不等式和依概率收敛推导弱大数定理。
首先对马尔可夫不等式做修改：
$$P\{| \overline{x_n} - \mu |\geq \varepsilon \} = P\{( \overline{x_n} - \mu )^2 \geq \varepsilon ^2 \} \leq \frac{E(\overline X_n - \mu)^2}{\varepsilon ^2} = \frac{var \overline{x}_n}{\varepsilon ^2} = \frac{\sigma ^2}{n \varepsilon ^2}$$
因此有：
$$\lim_{n \to \infty} P\{| \overline{x_n} - \mu |\geq \varepsilon \} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma ^2}{n \varepsilon ^2} = 0$$
上式也就是另一个依概率收敛。
还有一种强大数定理，主要区别是由依概率收敛变成几乎处处收敛。