在介绍卷积神经网络之前，我们需要先了解以下卷积运算和互相关运算。很多时候，我们都说卷积神经网络在图像处理方面具有很大的优势，主要原因就在于卷积运算，所以接下来就主要从图像处理和卷积的联系入手进行分析。
卷积运算在概率统计中关于随机变量的和的计算中也有出现，从数学上的定义来看，当我们有两个随机变量分别服从密度函数f和g，如果需要求它们的和t的概率密度，那么就有：
$$s(t) = f*g = \int _{-\infty} ^{\infty} f(x) g(-x+t)dx$$
这是一维的情况，对于二维，我们可以进一步推广：
$$s(u,v) = f*g = \int _{-\infty} ^{\infty} \int _{-\infty} ^{\infty} f(x,y) g(-x+u, -y+v)dxdy$$
与卷积运算非常相似的还有互相关运算：
$$r (t) = f \bigodot g = \int _{-\infty} ^{\infty} f_u (x) f_v (x+t)dx $$
二维形式：
$$r (u,v) = f \bigodot g = \int _{-\infty} ^{\infty} \int _{-\infty} ^{\infty} f_u (x,y) f_v (x+u, y+v)dxdy $$
对比卷积运算和互相关运算公式，就可以发现它们形式上是多么相似，唯一的区别只是正负号，这个区别导致卷积运算涉及到函数翻转而互相关运算不涉及的原因，但这里不细说，而是把重点放在分析为什么这种形式的运算会和图像处理产生联系。在运用卷积神经网络进行图像处理时，原则上既可以使用卷积运算也可以使用互相关运算，两者的效果可以做到完全等同只是算法的细节处理上有所不同，而实际上出于简便性的考虑一般会采用互相关运算，所以接下来的分析主要从互相关运算入手，而后文提到的卷积实际上也是指互相关运算。
首先关于图像处理，我们来看这样一个例子，现在我们有一副黑白图像，用矩阵表示，黑色像素点为1，白色像素点为0：
$$
\begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix}
$$
如果我们现在想要检测这幅图像有没有一条垂直的直线，应该怎么做，这里有一个方法，那就是构建一个反映特征的矩阵，或者说一个具有明显特征的图像矩阵：
$$
\begin{matrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{matrix}
$$
然后，我们就可以把原图划分成一个个小块，对比是否具有类似我们分析的特征的区域，这个构成，也像我们人类观察的过程，比如我们找一幅图里面有没有眼镜，我们也需要一处处仔细观察，而不能一下子就看完整张图片。那么从数学的角度，这个过程就是原图的矩阵分成和特征矩阵同等大小的一个个小矩阵，比如从左上角开始划分，得到第一个小矩阵：
$$
\begin{matrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{matrix}
$$
用它和特征矩阵按对应元素相乘得到：
$$
\begin{matrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{matrix}
$$
按照这样遍历整副图像，最后把每次计算的结果写成矩阵形式，得到：
$$
\begin{matrix}
2 & 0 \\
3 & 0 \\
2 & 0 \\
\end{matrix}
$$
根据这个矩阵，我们可以确定阈值为3，达到阈值就认为原图像存在特征，然后就可以判断在原图像中间偏左的位置存在一条垂直直线。
以上的这个过程，其实就是卷积神经网络的核心思想，也是反映了卷积运算和图像处理的关系，其中，反映特征的矩阵称为卷积核，图像就是我们的输入，两者相乘得到的结果称为特征映射图。
还记得一开始说过，互相关运算反映了函数的平移，这种平移就体现在上面提到的卷积核对输入图像遍历过程中的移动，而互相关运算中的两个函数相乘就反映了输入图像和卷积核相乘，最后积分的步骤就反映了卷积核对输入图像的遍历，所以一次遍历得到一个输出结果，作为特征映射图的一个点的值。
最后再来讨论一下，为什么卷积神经网络实际上用的是互相关运算而不是卷积运算，还是回到公式的层面：
$$s(t) = f*g = \int _{-\infty} ^{\infty} f(x) g(-x+t)dx$$
$$r (t) = f \bigodot g = \int _{-\infty} ^{\infty} f_u (x) f_v (x+t)dx $$
两者唯一的区别就是x的正负号，